Úhly mezi přímkami a rovinami

V geometrii často pracujeme s přímkami a rovinami. Ty se mezi sebou mohou různě protínat, být rovnoběžné, nebo svírat určitý úhel. Porozumět úhlům mezi přímkami a rovinami je důležité pro kreslení, stavbu budov i orientaci v prostoru.

Úhel mezi dvěma přímkami

Úhel mezi dvěma přímkami je úhel, který vznikne, když se dvě přímky protínají. Tento úhel měříme v místech, kde se přímky setkají, tedy v jejich průsečíku. Pokud jsou dvě přímky rovnoběžné, jejich úhel je 0° nebo 180°, protože se nikdy nesetkají.

Když dvě přímky svírají pravý úhel, říkáme, že jsou kolmé. Kolmost označujeme symbolem ⊥. Například přímka a je kolmá k přímce b: a ⊥ b.

Příklad:

• Přímka a a přímka b se protínají pod úhlem 90°. Řekneme, že a ⊥ b.
• Přímky, které svírají jiný úhel než 90°, nejsou kolmé, ale stále mohou být různě skloněné vůči sobě – třeba pod úhlem 45° nebo 120°.

Úhel mezi přímkou a rovinou

Úhel mezi přímkou a rovinou se určuje jako úhel, který svírá daná přímka s jejím kolmým průmětem do roviny. Průmět přímky do roviny je stín, který by přímka vrhala, kdyby na ni svítilo světlo kolmo shora.

Například když držíme pravítko šikmo proti lavici, úhel mezi pravítkem a deskou lavice je právě úhel mezi přímkou a rovinou.

Jak ho poznáme?

• Představíme si kolmici spuštěnou z přímky kolmo na rovinu.
• Úhel mezi touto kolmou a původní přímkou je hledaný úhel.
• Pokud je přímka kolmá na rovinu, svírá s ní úhel 90°.

Úhel mezi dvěma rovinami

Úhel mezi dvěma rovinami je úhel, který svírají dvě roviny, když se protínají. V místě průniku vzniká přímka, a každá rovina svírá s touto přímkou určitý úhel.

Úhel mezi rovinami se definuje jako úhel mezi dvěma přímkami, které jsou kolmé na přímku průniku a zároveň leží v různých rovinách.

Představa v praxi:

Střecha domu je dobrý příklad dvou rovin svírajících úhel – každá polovina střechy je jedna rovina a mezi nimi je úhel.

Shrnutí

• Úhel mezi dvěma přímkami vzniká v místě jejich průniku a může být ostrý, pravý nebo tupý.
• Úhel mezi přímkou a rovinou je úhel mezi přímkou a jejím kolmým průmětem do roviny.
• Úhel mezi dvěma rovinami se určuje pomocí přímek kolmých na jejich průnik.

Procvičování

1. Nakresli dvě přímky, které se protínají pod úhlem 60°. Jsou kolmé?
2. Představ si, že držíš tužku šikmo proti listu papíru. Nakresli, jaký úhel svírá s rovinou stolu.
3. Najdi kolem sebe dvě roviny, které svírají úhel (např. dvě stěny místnosti). Pokus se odhadnout jejich úhel.