Mnohočlenem je v matematice označen výraz, který seskládá, jak již název napovídá, z několika jednotlivých členů.V mnohočlenu se vyskytují koeficienty a proměnné. Každý člen seskládá buď pouze z koeficientu, tedy čísla, nebo z koeficientu a proměnné určitého stupně. Proměnné se v mnohočlenech mohou nacházet jak v jednotkách, tak i nejrůznějších mocninách. Stupněm, nebo-li řádem mnohočlenu, se rozumí nejvyšší mocnina, která se vyskytuje u některé proměnné.
Mnohočlen s více proměnnými znamená, že se ve výrazu vyskytuje větší počet neznámých, čili proměnných. Synonymem a zároveň správnějším a odbornějším názvem pro mnohočlen je polynom.
Operace s mnohočleny
S mnohočleny lze provádět veškeré základní matematické operace. Jedná se zejména o sčítání, odečítání, násobení a dělení.
Aby bylo naše obecné a zřejmě složité povídání lépe pochopitelné, ukážeme si několik příkladů mnohočlenů:
Př. 1. Mnohočlen prvního stupně:
x + 2
- v tomto mnohočlenu se vyskytuje proměnná x a dvakoeficienty, a to sice koeficient 1 u proměnné x a jednotkovýkoeficient 2, mnohočlen je prvního stupně
Př. 2. Mnohočlen třetího stupně:
2x3 + 3x2 + 4x+ 5
- v tomto mnohočlenu se vyskytuje proměnná x třetího stupně,druhého stupně a prvního stupně, jedná se tedy o mnohočlen o jedné proměnné třetího stupně se čtyřmi koeficienty a to na místě proměnné třetího řádu je to koeficient 2, na místě proměnné druhého řádu koeficient 3, namístě proměnné prvního řádu koeficient 4 a na místě jednotek potom koeficient 5
Př. 3. Mnohočlen třetího stupně o dvou neznámých:
x3 + 3y2 + 4y+ 5
- v tomto mnohočlenu si demonstrujeme, jak může vypadat polynom se dvěma neznámými, v našem případě jde o neznámou x a y,mnohočlen je třetího stupně, protože největší mocnina neznámé je „na třetí“,koeficienty jsou následující: u proměnné x třetího řádu je to číslo 1,u proměnné y druhého řádu je to číslo 3 a u proměnné y prvního řádu je to číslo 4, na místě jednotek je potom koeficient 5
Př. 4. Mnohočlen čtvrtého stupně o třech neznámých:
x4 + 3y3 + z2 + 3y+ 4z+ 5
- jedná se o mnohočlen čtvrtého stupně, protože největší mocnina u proměnné je „na čtvrtou“, mnohočlen má tři proměnné a to x, y a z,koeficienty jsou následující: u proměnné x čtvrtého stupně je to číslo 1,u proměnné y třetího stupně číslo 3, u proměnné z druhého stupně číslo 1, u proměnné y prvního stupně číslo 3, u proměnné z prvního stupně číslo 4 a jednotkový koeficient je číslo 5
V mnohočlenu může být nekonečně mnoho proměnných astejně tak i nekonečně mnoho koeficientů. Obecně lze zápis mnohočlenus jednou neznámou vyjádřit následujícím způsobem: a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + … + anxn
- jednotlivé sčítance představují členy mnohočlenu, a0 je jednotkový koeficient, a1 je koeficient na místě proměnné xprvního stupně, a2 je koeficient na místě proměnné x druhého stupně, atd., uvedený zápis mnohočlenu vyjadřuje polynom n-tého stupně, protože největší mocnina je „na n“
S mnohočleny se v matematice pracuje tak, že sek nim doplní jejich druhá strana, tzn. jsou zadány ve stylu rovnice. Pokud se nějaký mnohočlen rovná nule, říká se o něm, že je to nulový polynom.
Př. 5. Nulový polynom:
3x2 + 4x+ 5 = 0
Základní operace s mnohočleny včetně jejich popisů si ukážeme na příkladech.
Př. 6. Sčítání mnohočlenů:
Máme dva mnohočleny: 3x2 + 4x+ 5 a 6x2+ x+ 1, sečtěme je!
3x2 + 4x+ 5 + 6x2 + x + 1 = 9x2+ 5x + 6
- zde si musíme uvědomit, že můžeme sčítat pouze shodné koeficienty, tedy taková čísla mezi sebou, která představují koeficienty stejného řádu, v tomto příkladu mezi sebou sčítáme konkrétně koeficienty u proměnné x druhého řádu, tedy čísla 3 a 6, koeficienty u proměnné x prvního řádu, tedy čísla 4 a 1 a koeficienty jednotkové, tedy čísla 5a 1
Př. 7. Odčítání mnohočlenů:
Máme dva mnohočleny: 6x2 + 4x+ 5 a x2 +2x + 3, odečtěme je!
6x2 + 4x+ 5 – (x2 + 2x + 3) = 6x2+ 4x+ 5 – x2 - 2x – 3 = 5x2 + 2x + 2
-
-
Př. 8. Násobení mnohočlenů:
Máme dva mnohočleny: x + 5 a x + 3, vynásobme je!
(x + 5) x (x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2+ 8x + 15
- u násobení je to již složitější, každý člen prvního výrazu musíme vynásobit každým členem druhého výrazu, koeficienty mezi sebou násobíme jako normální čísla a proměnné potom podle pravidel násobení výrazů
Př. 9. Dělení mnohočlenů:
Máme dva mnohočleny: x2 + 6x + 9 a x + 3, vydělme první mnohočlen druhým mnohočlenem!
(x2 + 6x + 9) / (x + 3) = (x + 3)
-
3x + 9
-
0
- na první pohled vypadá tento zápis hodně nepříjemně, postup při dělení mnohočlenů je však jednoduchý, v našem případě jsme postupovali takto: první člen prvního mnohočlenu, tedy x2 jsme vydělili prvním členem druhého mnohočlenu tedy x, výsledkem je výraz x, nyní musíme tímto výrazem x vynásobit zpětně druhý mnohočlen, výsledek odečteme od prvního výrazu a budeme si všímat už pouze dalšího dílčího výsledku 3x +9, jehož první člen, tedy 3x vydělíme opět prvním členem druhého výrazu, tedy x, výsledkem je 3, opět aplikujeme zpětné násobení 3s druhým výrazem a vyjde nám 3x + 9, což je mnohočlen, který když odečteme od mnohočlenu, se kterým jsme počítali, tak nám vyjde 0, tzn.že výsledek je beze zbytku a je jím konkrétně mnohočlen x + 3, osprávnosti se můžeme přesvědčit případně násobením