Pokud budete v matematice pozorní, tak zjistíte, že s posloupnostmi se setkáváme v podstatě každý den. Posloupnosti představují prakticky nějakou řadu čísel, která je určitým způsobem charakteristická.
Př. 1. Ukázky posloupností
1, 2, 3, 4
- posloupnost čtyř čísel, každé následující číslo kromě prvního je o jedno větší než předcházející číslo, posloupnost je konečná, protože má čtyři prvky
1, 3, 5, 7, …
- posloupnost čísel, každé následující číslo kromě prvního je o dvě větší než předcházející číslo, posloupnost je nekonečná, protože tři tečky značí pokračování do nekonečna
První příklad již napověděl, že každá posloupnost může být dvojího typu:
1) posloupnost omezená obsahuje konečný počet prvků
2) posloupnost neomezená obsahuje nekonečně mnoho prvků
Přesnější definice pro posloupnost je následující: Posloupnost je funkce, která má jako definiční obor přirozená čísla.
Funkce je zjednodušeně řečeno přiřazení, které se řídí určitým předpisem. Definiční obor je potom skupina čísel, která lze dosazovat za proměnnou funkce. Ukažme si to opět na příkladu.
Př. 2. Funkce, která definuje posloupnost
y = x + 2 definuje posloupnost 3, 4, 5, 6, …
- do funkce y = x + 2 dosazujeme postupně přirozená čísla, tedy čísla 1, 2, 3, 4, … a dostáváme posloupnost 3, 4, 5, 6 …
Pokud již s posloupnostmi pracujeme, tedy určujeme hlavně jejich vlastnosti, zapisujeme je do složených závorek.
Vlastnosti posloupností
U každé posloupnosti lze určit celou řadu vlastností, které jsou pro ni charakteristické.
1) Konečná a nekonečná posloupnost – viz výše.
2) Omezená a neomezená posloupnost – posloupnost může být omezená shora nebo zdola. Posloupnost je omezená zdola, pokud existuje alespoň nějaké číslo, které je menší než jakýkoliv člen dané posloupnosti. Posloupnost je omezená shora, pokud existuje alespoň nějaké číslo, které je větší než jakýkoliv člen této posloupnosti. Posloupnost je celkově omezená, pokud je omezená alespoň nějakým číslem zdola a současně alespoň nějakým jiným číslem shora.
3) Rostoucí nebo klesající posloupnost – posloupnost může být rostoucí nebo klesající. Posloupnost je rostoucí, pokud každý její následující člen je větší než člen předcházející. Posloupnost je klesající, pokud každý její následující člen je menší než člen předcházející.
Př. 3. Vlastnosti posloupností
{1, 2, 3, 4, …} – rostoucí posloupnost, zdola omezená například číslem 0, nekonečná
{100, 99, 98, 97, …} – klesající posloupnost, shora omezená například číslem 101, nekonečná
{1, 5, 66, 456, …} – posloupnost rostoucí, zdola omezená například číslem 0, nekonečná
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – posloupnost rostoucí, zdola omezená například číslem nula, konečná
Pro určování vlastností posloupností je velmi vhodný jejich záznam do grafu. Pohledem na graf potom zjistíme některé vlastnosti na první pohled. Postup je jednoduchý. Jednotlivé členy posloupnosti se zaznamenávají vedle sebe ve stejné vzdálenosti na ose x. Jejich poloha na ose y je dána jednotlivým číslem, čím větší číslo, tím bude umístěno více nahoru.
Druhy posloupností
Existují dva základní druhy posloupností, které mají v praxi největší význam a se kterými se tedy nejvíce setkáme.
1) Posloupnost aritmetická je jednoduchá posloupnost, která je charakteristická tím, že mezi jakýmikoliv dvěma sousedícími členy je stejný rozdíl. Může být rostoucí nebo klesající. Číslo, kterým se dva jednotlivé sousedící prvky odlišují, se nazývá diference.
Aritmetická posloupnost lze napsat i obecným vzorcem ve tvaru an+1 = an + d, kde d je diference a an+1 a an jsou dva po sobě jdoucí členy posloupnosti.
Posloupnost geometrická je taktéž jednoduchou posloupností, která je charakteristická tím, že každé její dva sousední členy mají stejný podíl. Velikost podílu se nazývá kvocientem a značí se q. Může se jednat opět buď o rostoucí, nebo klesající posloupnost. Geometrická posloupnost lze zapsat v obecném tvaru an+1 = an x q, kde q je kvocient a an a an+1 jsou sousedící dva členy geometrické posloupnosti.
Př. 4. Aritmetická posloupnost
{1, 5, 9, 13, …} – jedná se o aritmetickou posloupnost, každý následující člen je o 4 větší, diference je tedy 4
Př. 5. Geometrická posloupnost
{2, 4, 8, 16, …} – jedná se o geometrickou posloupnost, podíl každého následujícího a předcházejícího členu je shodný a je to konkrétně číslo 2, kvocient je tedy 2
S aritmetickou a geometrickou posloupností je spojena celá řada příkladů. Podívejme se alespoň na některé z nich.
Př. 6. Počítání s aritmetickou posloupností
Jsou dány první dva členy aritmetické posloupnosti, jedná se o čísla 2 a 4, určeme diferenci a pátý člen posloupnosti.
a1 = 2
a2 = 4
a5 = ?
d = ?
d = a2 – a1 = 4 – 2 = 2
a5 = a2 + 3xd = 4 + 3x2 = 10
- diferenci vypočítáme tak, že odečteme druhý člen od prvního členu, k pátému členu posloupnosti lze dospět více způsoby, nejjednodušší je ten, že si uvědomíme, že k druhému členu posloupnosti musíme přičíst třikrát diferenci
Př. 7. Počítání s geometrickou posloupností
Jsou dány první a třetí člen geometrické posloupnosti, jedná se o čísla 2 a 8, určeme kvocient a pátý člen posloupnosti.
a1 = 2
a3 = 8
a5 = ?
q = ?
qxq = a3 / a1 = 8 / 2 = 4, q = 2
a5 = a3 x qxq = 8 x 2x2 = 32
- kvocient vypočítáme následujícím způsobem: Třetí člen vydělíme prvním členem, protože se však jedná o členy, které jsou od sebe „přes jeden člen“, je potřeba si uvědomit, že získáme zatím pouze kvocient „na druhou“, po odmocnění již máme požadovaný kvocient, pátý člen potom vypočítáme tak, že vynásobíme třetí člen kvocientem, to však máme teprve čtvrtý člen, po následném opětovném vynásobení kvocientem dostáváme pátý člen geometrické posloupnosti