Krácením zlomků
je to nejednodušší technika. Máme-li v čitateli a v jmenovateli něco stejného a jdou se navzájem dělit a také, že jde o součin. Ale pozor, součinem není tento výraz 15 * 30 + 15.
Př.:
5x2
3x
Zde vidíme, že jediné, co mají společného a čím jde dělit je "x". Takže vydělíme xkem a vyjde nám výsledek
5x
3
Tento výraz už nelze dále upravit a toto je řešení.
Vytýkáním
Co dělat ale v případě, když mam ve výrazu ještě součet (sčítání)?
V tomto případě rozložíme podle určitých vzorců či prostě vytkneme.
Př.:
15x2 + 3x
x
Vidíme, že na prvním řádku mají společného 3 a x. Vytkneme tedy a bude to vypadat
3x * (5x + 1)
x
Když to roznásobíte, tak vám vyjde to samé. Teďka jsme to vytkli a zlomek už nevypadá tak složitě. Vydělíme xkem a vyjdem nám výsledek 3 * (5x+1)
Rozložením pomocí vzorců
Jak už jsem níže naznačoval, tak existujou také vzorce, které nám pomůžou v určitých případech upravit daný výraz takže s tím můžeme pracovat lépe.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3 ab2 + b3
- (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3 ab2 - b3
- a2 - b2 = (a + b) (a - b)
- a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
- a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Toto jsou základní vzorce, které se musíte naučit na zpaměti. Pokud se dostanete do situace, které nelze už vytknout nebo vykrátit, nebo vytknutí a vykrácení nepomáhá, tak se podívejte, jestli se někde nepodobá vzorci výše.
Nejlépe si je ukážeme na příkladech níže:
Zadání:
8x3
4x2
Řešení
U toho prvního příkladu se dá rovnou krátit a krátit můžeš jenom když jsou členy v součinu (jak mezi osmičkou a xkem nic není tak to znamená, že to je jako násobení). Můžeš zkrátit xka, nahoře je x na třetí a dole x na druhou a když jsou takhle ve zlomku tak se exponenty (čísla, na který jsou neznámý umocňovaný) odčítaj, a můžeš zkrátit osmičku se čtyřkou, 8:4=2.
Zkouška- napíšeš si jmenovatel v tom tvaru, kdy jsi ještě nekrátila takže tady je to jenom na začátku. Potom v tý rovnici si nejdřív napíšeš, že jmenovatel se nesmí rovnat nule a potom upravuješ rovnici.
8x3
4x2
________________________
8x
4
________________________
2x
Zadání:
3a2 - 3ab
3(a - b)2
Řešení
K tomu, abys mohla krátit potřebuješ mít čitatel i jmenovatel v součinovym tvaru (tady je jmenovatel už v součinovym tvaru, s ním nic dělat nemusíme) a tak si v čitateli najdeme co mají ty dva členy společnýho (jsou odděleny mínusem, čísla a písmena, který se násoběj mezi sebou jsou jako jeden člen takže 3a2 (tahle stříška bude znamenat jako že to je umocněný na několikátou a znamýnko za touhle stříškou bude znamenat na jakou hodnotu je to číslo umocněný, tenhle člen je vlastně jako 3*a2) a potom je tam mínus takže potom už je další člen a ten je 3ab (je to vlastně jako 3*a*b), společný jsou v těchhle členech trojka a áčko (ve druhym členu je to jednoduchý a, není umocněný a z obou členů musíš vytknout ty nejmenší hodnoty takže nelze vytýkat a2, protože je větší než neumocněný a).
Pro tenhle příklad, když vytýkáš tak si vlastně řekneš „3a krát co je 3a2? Krát a je 3a2, protože 3*a*a=3a2.
Potom je tam mínus tak ten opíšeme a řekneme si „3a krát co je 3ab? Krát b je 3ab“.
Potom zkrátíš trojky před závorkami, kterými jsi vytýkala a zkrátíš závorky, nelze krátit věci, které jsou v závorkách, protože uvnitř není součinový tvar, vzhledem k tomu, že ta spodní závorka je na druhou, tak je tam vlastně jako dvakrát čili se zkrátí jenom ta jedna a ta druhá tam zůstane a dostaneme výsledek.
3a(a - b)
3(a - b)2
________________________
a(a - b)
(a - b)(a - b)
________________________
a
a - b
Zadání:
18a - 30
12a2 - 20 a
Řešení
Ve třetím příkladě zase musíme vytknout, abychom mohli krátit a tak si najdeme nejdříve nejmenší společný násobek dvou čísel v obou členech což je v čitateli šestka a ve jmenovateli čtyřka, potom se koukneme co za písmena mají společného, v čitateli žádne a ve jmenovateli je to a (opět a2 to být nemůže, protože ve druhém členu je jenom neumocněný „a“ a musíš vytýkat ty nejmenší).
Potom zkrátíme závorky, které jsou obě stejné a čísla.
U podmínky musíme vycházet ze jmenovatele, který nebyl krácen a nejlíp se to bude dělat z toho, který je rozložen na součin, tam musíme udělat dvě podmínky, to, čím násobíme závorku se nesmí rovnat nule a obsah závorek se nesmí rovnat nule, potom už rovnice normálně upravíme
6(3a - 5)
4a(3a - 5)
________________________
6
4a
________________________
3
2a
Zadání:
16x2 + 24xy + 9y2 - 25
Řešení
Trojčlen 16x2 + 24xy + 9y2 upravíme podle vzorce (a + b)2.
16x2 + 24xy + 9y2 - 25 = (4x +3y)2 -25
Výraz (4x +3y)2 nyní rozložíme podle vzorce a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(4x +3y)2 - 25. Výraz 4x+3y je pro nás jako by "a" a 25 (tedy b2) je vlastně 52. b je tedy 5
(4x + 3y +5)(4x + 3y -5)