Úvod
Obvod a obsah patří mezi základní charakteristiky, které je možno zkoumat u všech geometrických obrazců. Tyto veličiny mají důležitý význam i v praxi.
Uveďme si příklady, kdy se vyplatí v běžném životě umět vypočítat obvod a obsah. Tak třeba pokud chcete oplotit zahradu, zde bude potřeba zjistit obvod, abyste věděli, kolik máte koupit metrů pletiva. Nebo třeba budete chtít vymalovat pokoj: U každé barvy je uváděno, na kolik vystačí metrů čtverečných, abyste tedy věděli, kolik jí koupit, musíte znát přesný obsah stěn, které plánujete vymalovat.
V dalších částech se zaměříme na základní geometrické útvary v rovině, u kterých uvedeme vždy vzorce pro výpočet objemu a obsahu a dva demonstrativní příklady, které budou řešit jejich výpočet. Ještě připomeňme, že obvod bývá značen malým písmenem o a má délkové jednotky, obsah je potom značen velkým písmenem S a je vyjádřen v délkových jednotkách „na druhou“
Základní geometrické útvary v rovině – obvod, obsah
Čtverec
A, B, C, D jsou vrcholy čtverce
a je strana čtverce
o = a + a + a + a = 4 x a
S = a x a = a2
- pro správný výpočet obvodu a obsahu čtverce je tedy zapotřebí znát jeho stranu a (všechny strany čtverce mají stejnou velikost)
Př. 1. Obvod čtverce
Určeme obvod čtverce, který má délku strany a = 5 cm
o = 4 x a = 4 x 5 cm = 20 cm
Př. 2. Obsah čtverce
Určeme obsah čtverce, který má délku strany a = 3 cm
S = a x a = 3 cm x 3 cm = 9 cm2
Obdélník
A, B, C, D jsou vrcholy obdélníku
a, b jsou strany obdélníku
o = a + b + a + b = 2 x (a + b)
S = a x b
- abychom mohli vypočítat obvod a obsah obdélníku, musíme znát jeho dvě strany a a b (obdélník má dvě protější strany stejně dlouhé)
Př. 3. Obvod obdélníku
Určeme obvod obdélníku, který má délky stran a = 5 cm a b = 2 cm
o = 2 x (a + b) = 2 x (5 cm + 2 cm) = 2 x 7 cm = 14 cm
Př. 4. Obsah obdélníku
Určeme obsah obdélníku, který má délky stran a = 2 cm a b = 1 cm
S = a x b = 2 cm x 1 cm = 2 cm2
Trojúhelník
A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku
a, b, c jsou strany trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly trojúhelníku
va je výška trojúhelníku na stranu a (úsečka vedoucí kolmo ze strany a na vrchol A)
o = a + b + c
S = (a x va) / 2
- abychom mohli vypočítat obvod trojúhelníku, musíme znát všechny tři jeho strany, chceme-li vypočítat obsah trojúhelníku, musíme znát jednu stranu a k ní příslušnou výšku
Př. 5. Obvod trojúhelníku
Určeme obvod trojúhelníku, který má délky stran a = 5 cm, b = 2 cm a c = 1 cm
o = a + b + c = 5 cm + 2 cm + 1 cm = 8 cm
Př. 6. Obsah trojúhelníku
Určeme obsah trojúhelníku, který má délky strany a = 2 cm a délku výšky va = 3 cm
S = (a x va) / 2 = (2 cm x 3 cm) / 2 = 6 cm2 / 2 = 3 cm2
Kosočtverec
A, B, C, D jsou vrcholy kosočtverce
a je strana kosočtverce
v je výška kosočtverce
o = a + a + a + a = 4 x a
S = a x v
- pokud chceme určit obvod kosočtverce, musíme znát velikost jeho strany (všechny čtyři strany jsou stejné velikosti), pro výpočet obsahu kosočtverce je třeba znát jeho stranu a výšku (všechny výšky v kosočtverci jsou stejné velikosti)
Př. 7. Obvod kosočtverce
Určeme obvod kosočtverce, který má délku strany a = 5 cm
o = 4 x a = 4 x 5 cm = 20 cm
Př. 8. Obsah kosočtverce
Určeme obsah kosočtverce, který má délku strany a = 3 cm a délku výšky na tuto stranu v = 2 cm
S = a x v = 3 cm x 2 cm = 6 cm2
Kosodélník
A, B, C, D jsou vrcholy kosodélníku
a, b jsou strany kosodélníku
va a vb jsou výšky kosodélníku
o = a + b + a + b = 2 x (a + b)
S = a x va = b x vb
- chceme-li vypočítat obvod kosodélníku, musíme znát délku jeho dvou sousedních stran, k výpočtu obsahu kosodélníku je třeba znát jednu stranu a k ní příslušnou výšku
Př. 9. Obvod kosodélníku
Určeme obvod kosodélníku, který má délky stran a = 5 cm a b = 3 cm
o = 2 x (a + b) = 2 x (5 cm + 3 cm) = 2 x 8 cm = 16 cm
Př. 10. Obsah kosodélníku
Určeme obsah kosodélníku, který má délku strany a = 4 cm a délku výšky na tuto stranu v = 2 cm
S = a x va = 4 cm x 2 cm = 8 cm2
Lichoběžník
A, B, C, D jsou vrcholy lichoběžníku
a, b, c, d jsou strany lichoběžníku
v je výška lichoběžníku
o = a + b + c + d
S = [(a + c) x v] / 2
- pokud chceme vypočítat obvod lichoběžníku, musíme znát jeho všechny čtyři strany, chceme-li určit obsah lichoběžníku, musíme znát jeho dvě protější strany základny a jejich vzdálenost, tj. výšku (lichoběžník má dvě protější strany základny rovnoběžné)
Př. 11. Obvod lichoběžníku
Určeme obvod lichoběžníku, který má délky stran a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm a d = 3 cm
o = a + b + c + d = 5 cm + 3 cm + 4 cm + 3 cm = 15 cm
Př. 12. Obsah lichoběžníku
Určeme obsah lichoběžníku, který má délky stran a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm a d = 3 cm a výšku v = 2 cm
S = [(a + c) x v] / 2 = [(5 cm + 4 cm) x 2 cm] / 2 = 18 cm2 / 2 = 9 cm2
Kruh
d je průměr kruhu a r je poloměr kruhu
o = 2 x π x r = d x π
S = π x r x r = π x r2
- pokud chceme určit obvod kruhu, musíme znát stejně tak, jako v případě, že chceme určit obsah kruhu, jeho poloměr, případně průměr (platí, že průměr kruhu je roven dvojnásobku poloměru kruhu), číslem π se potom myslí Ludolfovo číslo, které je rovno zhruba velikosti 3,14
Př. 13. Obvod kruhu
Určeme obvod kruhu, který má poloměr r = 5 cm
o = 2 x π x r = d x π = 2 x 3,14 x 5 cm = 31, 4 cm
Př. 14. Obsah kruhu
Určeme obsah kruhu, který má poloměr r = 4 cm
S = π x r x r = π x r2 = 3,14 x 4 cm x 4 cm = 50,24 cm2
Mnohoúhelníky
Obvod a obsah můžeme určovat také u mnohoúhelníku. U nich je vhodné obrazec rozdělit do dílčích obrazců, kterými jsou právě základní geometrické útvary. Vypočítat obvod a objem těchto základních útvarů podle výše uvedených vzorců a následně je sečíst.